Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是①②④．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质易得∠B=∠ADE=∠C，于是可判断△ADE∽△ACD；在Rt△ABH中，利用三角函数的定义可计算出BH=8，则BC=2BH=16，所以当BD=6，则CD=10=AB，再证明∠EDC=∠BAD，则可判断△ABD≌△DCE；先证明△ABD∽△DCE，分类讨论：当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，可得BD为8；当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，根据三角函数定义可得BD=$\frac{AB}{cosα}$=$\frac{25}{2}$；设BD=x，则CD=16-x，由△ABD∽△DCE，利用相似比可得CE=-$\frac{1}{10}$（x-8）²+6.4，然后根据二次函数的性质可得CE的最大值为6.4，于是有0＜CE≤6.4．

解答 解：作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
在Rt△ABH中，cosB=$\frac{BH}{AB}$，
∴BH=10×$\frac{4}{5}$=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6，则CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD与△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{AB=DC}\\{∠BAD=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE为直角三角形，当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，BD为8；当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，BD=$\frac{AB}{cosα}$=$\frac{25}{2}$，所以③错误；
设BD=x，则CD=16-x，
由△ABD∽△DCE得$\frac{BD}{CE}$=$\frac{AB}{DC}$，即$\frac{x}{CE}$=$\frac{10}{10-x}$，
∴CE=-$\frac{1}{10}$（x-8）²+6.4，
∴CE的最大值为6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正确．
故答案为①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．