Question

14．（1）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使BC=a，∠C=∠B=∠α．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形中，如果BC=6$\sqrt{3}$，∠α=30°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）作线段BC=a，再作∠ABC=α，∠ACB=α，于是可得到满足条件的△ABC；、
（2）作AH⊥BC于H，如图，先判断△ABC为等腰三角形，则根据等腰三角形的性质得BH=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，再在Rt△ABH中，利用三角函数的定义可计算出AH=3，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）如图，
（2）作AH⊥BC于H，如图，
∵∠C=∠B=30°，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ABH中，∵tan∠B=$\frac{AH}{BH}$，
∴AH=3$\sqrt{3}$tan30°=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×3×6$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．