Question

17．观察下列等式：
1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7．
（1）请你继续写出第5个和第6个等式；
（2）请你猜想并写出第100个等式；
（3）如果用正整数n表示第n个等式，请你用含有n的等式表示出这一规律．并用你所学的知识解释一下其正确性．

Answer 1

分析 （1）观察前4个等式，发现等式中数字的变化规律“等式中第一个底数为n，第2个底数为n-1，等式右边结果为2n-1”，结合该变化规律即可得出结论；
（2）利用（1）的规律，即可得出结论；
（3）结合（1）规律用正整数n表示第n个等式，即n²-（n-1）²=2n-1（n为正整数）．利用完全平方公式的展开式结合整式的运算法则即可证得结论成立．

解答 解：（1）观察：1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5，4²-3²=7，
发现：等式中第一个底数为n，第2个底数为n-1，等式右边结果为2n-1，
则第5个等式为5²-4²=9，第6个等式为6²-5²=11．
（2）结合（1）可得出：
第100个等式为100²-99²=199．
（3）结合（1）可得出：
第n个等式为n²-（n-1）²=2n-1（n为正整数）．
证明：左边=n²-（n-1）²
=n²-（n²-2n+1）
=2n-1=右边．
故结论成立．

点评 本题考查了规律型中的数字变化以及完全平方公式，解题的关键是找出规律“等式中第一个底数为n，第2个底数为n-1，等式右边结果为2n-1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的等式的变化找出变化规律是关键．