Question

9．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA=8，OC=6，过点D（0，6）作y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求矩形OABC的对角线的长；
（2）求点B的坐标；
（3）求△EOB的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=OC=6，∠A=90°，由勾股定理求出OB即可；
（2）由勾股定理求出BD，即可得出结果；
（3）由HL证明Rt△OBD≌Rt△BOA，得出∠OBD=∠BOA，证出OE=BE，设OE=BE=x，则DE=8-x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=6，∠A=90°，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
即矩形OABC的对角线的长为10；
（2）∵BD⊥OD，
∴∠ODB=90°，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴点B的坐标为（8，6）；
（3）∵OD=6，AB=6，
∴OD=AB，
在Rt△OBD和Rt△BOA中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=BO}\\{OD=BA}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBD≌Rt△BOA（HL），
∴∠OBD=∠BOA，
∴OE=BE，
设OE=BE=x，则DE=8-x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：6²+（8-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，即BE=$\frac{25}{4}$，
∴△EOB的面积=$\frac{1}{2}$BE•OD=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×6=$\frac{75}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证出BE=OE，由勾股定理得出方程是解决问题（3）的关键．