Question

17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
求证：（1）AC²=AD•AB；   
（2）BC²=BD•BA；   
（3）CD²=AD•DB．

Answer 1

分析 （1）由∠CDA═∠ACB，∠A=∠A，证出△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；
（2）由∠CDB=∠ACB，∠B=∠B，证出△BCD∽△BAC，得出对应边成比例BC：AB=BD：BC，即可得出结论；
（3）证明△ACD∽△CBD，得出对应边成比例CD：BD=AD：CD，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=90°=∠ACB，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴BC²=BD•AB；
（3）∵△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．