Question

已知 关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0．
（1）判断方程的实数根的情况；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=5，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求：k的值及△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=1，则根据判别式的意义可判断方程的有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，再根据勾股定理得（b+c）²-2bc=25，则（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，解得k=-5或k=2，然后根据三角形三边的关系可判断k=2，b+c=7，再求Rt△ABC的周长．

解答：解：（1）∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∴△＞0，
∴方程的有两个不相等的实数根；
（2）依题意得b+c=2k+3，bc=k²+3k+2，
∵在Rt△ABC中 b²+c²=a²，
∴（b+c）²-2bc=25，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0
解得k=-5或k=2，
∵k=-5时，b+c=-7不合题意，舍去；k=2，b+c=7，符合题意，
∴Rt△ABC的周长为a+b+c=12．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．