Question

15．已知一次函数y=x-1的图象与抛物线y=x²+mx+n交于A、B两点，点A在y轴上，点B的纵坐标是5．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在直线AB上，且点D的横坐标比点C的横坐标大2，点E、F在这条抛物线上，且CE、DF与y轴平行，能否找到一点C，使CF∥ED？若能，求点C的坐标；不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点在直线上，可以求出A、B点的坐标，将其代入抛物线解析式，即可求得m，n的值；
（2）由（1）得出抛物线的解析式，将其化为顶点式，即可以找到P点坐标，由两点间的距离以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求出结论；
（3）画出图形，假设存在，结合图形可知，C、D必须在抛物线的上下两侧，设出C点坐标（a，a-1），用a表示出D、E、F点的坐标，由平行四边形的性质得出CE=DF，解含a的方程，即可得出C点坐标．

解答 解：（1）令x=0，则y=0-1=-1，即点A（0，-1），
令y=5，则5=x-1，解得x=6，即点B（6，5）．
将点A、B的坐标代入抛物线y=x²+mx+n中，
有$\left\{\begin{array}{l}{-1=n}\\{5=36+6m+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-5}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
故个抛物线的解析式y=x²-5x-1．
（2）抛物线的解析式y=x²-5x-1=${（x-\frac{5}{2}）}^{2}$-$\frac{29}{4}$，
∴顶点P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{29}{4}$）．
直线AB的解析式y=x-1，即x-y-1=0，
点P到直线AB的距离d=$\frac{|\frac{5}{2}-（-\frac{29}{4}）-1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{35\sqrt{2}}{8}$，
AB=$\sqrt{（6-0）^{2}+[5-（-1）]^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
△ABP的面积=$\frac{1}{2}$•d•AE=$\frac{105}{4}$．
（3）按照题意画出图形，图形如下，

假设存在这样的C点，设点C（a，a-1），则点D（a+2，a+1），点E（a，a²-5a-1），点F（a+2，a²-a-7）．
∵CE∥DF∥y轴，DE∥CF，
∴四边形CFDE为平行四边形，
∴CE=DF．
CE=|a²-5a-1-（a-1）|=|a²-6a|，DF=|a²-a-7-（a+1）|=|a²-2a-8|．
结合图形可知，若C、D两点均在抛物线上方，或均在抛物线下方时DE和CF相交，不可能平行，
故只有两种情况．
①当-2＜a＜0时，CE=a²-6a，DF=2a+8-a²，
∵CE=DF，
∴a²-6a=2a+8-a²，解得a=2-2$\sqrt{2}$，或a=2+$\sqrt{2}$（舍去）．
C点的坐标为（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）．
②当4＜a＜6时，CE=6a-a²，DF=a²-2a-8，
∵CE=DF，
∴6a-a²=a²-2a-8，解得a=2+2$\sqrt{2}$，或a=2-2$\sqrt{2}$（舍去）．
C点的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．
综合①②得：能找到点C，使CF∥ED，点C的坐标为（2-2$\sqrt{2}$，1-2$\sqrt{2}$）或（2+2$\sqrt{2}$，1+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用、点到直线的距离、两点间的距离公式以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是：（1）由点A、B在直线上，找出A、B的坐标；（2）将抛物线解析式变为顶点式，找出顶点P的坐标，结合两点间的距离公式，以及点到直线的距离公式；（3）画出图形，结合图形得知，C、D两点必定在抛物线的两测，设出C点坐标，解方程即可．