题目内容
3．如图：△ABC为等边三角形，点D、P为动点，这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度点D由C向A运动，点P由B向C运动，连接AP、BD交于点Q．
（1）若动点D在边CA上，动点P在边BC上，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论．
（2）若动点D、P分别在射线CA和射线BC上运动，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变，请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°．
（3）若将原题中的“点P由B向C运动，连接AP、BD交于点Q”改为“点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其它条件不变，如图（3），则动点D、P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．
分析 （1）由△ABC为等边三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，可得BP=CD，即可利用SAS判定△ABP≌△BCD，继而证得结论；
（2）同理可证得△ABP≌△BCD（SAS），则可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先过点D作DG∥AB交BC于点G，则可证得△DCG为等边三角形，继而证得△DGE≌△PBE（AAS），则可证得结论．
解答 解：（1）AP=BD．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根据题意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠C}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；
（2）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCP}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）DE=PE．
理由：过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠PEB}\\{∠GDE=∠BPE}\\{DG=PB}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．
点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，
如图，一只蜘蛛在一个正方形框架（每个方格都是正方向）的A处，一只苍蝇在这个正方形框架的B处，这只蜘蛛要袭击这只苍蝇（它必须沿正方形框架线路爬行）．那么它袭击苍蝇的最佳路线有6条．
（1）计算：34°25′×3+35°42′| 册数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 人数 | 3 | 13 | 16 | 17 | 1 |
②估计该校八年级在本次活动中读书多于2册的学生人数占全年级的百分比．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．①有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
②周长相等的两个三角形是全等三角形；
③全等三角形对应边上的高、中线、对应角的角平分线相等；
④两个含60°角的等腰三角形是全等三角形；
其中正确的命题有（ ）
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| A． | 两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 | |
| B． | 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 | |
| C． | 平面内，经过一点有一条直线并且只有一条直线与已知直线垂直 | |
| D． | 三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两个部分 |