Question

11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，PF∥BC交AB于F，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长始终保持不变，试求出ED的长度．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=$\frac{1}{2}$QC，即6-x=$\frac{1}{2}$（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等边△ABC的边长为6，可得出DE=3．

解答 解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$QC，即6-x=$\frac{1}{2}$（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（2）作QG⊥AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DGQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠GBQ=60°，
在△APE和△BQG中，
∵∠AEP=∠BGQ=90°，
∴∠APE=∠BQG，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BGQ}\\{∠A=∠GBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQG（AAS），
∴AE=BG，PE=QG且PE∥QG，
∴四边形PEQG是平行四边形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EG，
∵EB+AE=BE+BG=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
故运动过程中线段ED的长始终为3．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．