Question

6．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8．
（1）试求点F到AD的距离．
（2）试求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出∠DFE=30°，则EF=2DE=16，进而利用勾股定理得出DF的长，进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出DM的长，进而得出MB=FM，求出答案．

解答 解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，
在△EDF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，
则∠DFE=30°，
故EF=2DE=16，
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}-{8}^{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∵AB∥EF，
∴∠FDM=∠DFE=30°，
在Rt△FMD中，MF=$\frac{1}{2}$DF=8$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=4$\sqrt{3}$，
即点F与AD之间的距离为：4$\sqrt{3}$；

（2）在Rt△FMD中，DM=$\sqrt{D{F}^{2}-F{M}^{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{3}）^{2}-（4\sqrt{3}）^{2}}$=12，
∵∠C=45°，∠CAB=90°，
∴∠CBA=45°，
又∵∠FMB=90°，
△FMB是等腰直角三角形，
∴MB=FM=4$\sqrt{3}$，
∴BD=MD-FM=12-4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及平行线的性质，正确应用勾股定理是解题关键．