Question

12．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，连接AC，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，连接CD，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF，然后根据切割线定理结论得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD=∠DAE．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠ODA=∠DA E．
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=10，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴BC=8，
∴AC=6，
过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}$=4，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE²=CE•AE，
∴CE=2，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．