Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，判断出BE=BC=5；然后根据勾股定理，求出AE的值是多少，进而求出DE的值是多少；再根据勾股定理，求出CE的值是多少，再根据BC=BE，BF⊥CE，判断出点F是CE的中点，据此求出CF、BF的值各是多少；最后根据角的正切的求法，求出tan∠FBC的值是多少即可．

解答 解：∵以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，
∴BE=BC=5，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$，
∵BC=BE，BF⊥CE，
∴点F是CE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴tan∠FBC=$\frac{CF}{BF}$，
即tan∠FBC的值为$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$．

点评 此题还考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一个角的正弦、余弦、正切的求法．