Question

10．如图，在扇形EOD中，OD=3，菱形OABC的顶点A、B、C分别在OD、$\widehat{DE}$和OE上，OA=$\sqrt{3}$，连接CD，则阴影部分的面积为$\frac{3π-9+3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 首先利用菱形的性质以及利用三角函数关系得出∠AOC=60°，然后根据S_阴影=S_扇形-S_△ODC-$\frac{1}{2}$（S_扇形-S_菱形）求得即可．

解答 解：连接OB，AC，BO与AC相交于点F，
∵在菱形OABC中，AC⊥BO，CF=AF，FO=BF，∠COB=∠BOA，
又∵扇形DOE的半径为3，边长为$\sqrt{3}$，
∴FO=BF=1.5，
cos∠FOC=$\frac{FO}{CO}$=$\frac{1.5}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FOC=30°，
∴∠EOD=2×30°=60°，
∴AC=OA=$\sqrt{3}$，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S_扇形=$\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3}{2}$π，S_△ODC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_△ODC-$\frac{1}{2}$（S_扇形-S_菱形）
=$\frac{3}{2}$π-$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$π-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）
=$\frac{3π-9+3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{3π-9+3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质，扇形的面积，求得∠AOC=60°是解题的关键．