Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的角平分线交⊙O于D，过D作⊙O的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：AB=$\sqrt{2}$AD；
（2）若sin∠B=$\frac{3}{5}$，求$\frac{PA}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可证得∠BAD=∠ABD，∠ADB=90°，从而证得△ADB是等腰直角三角形，解直角三角形即可证得结论；
（2）设AC=x，根据sin∠B=$\frac{3}{5}$得出AB=$\frac{5}{3}$x，进而得出AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$x，作AE⊥CD，得出△ACE为等腰直角三角形，从而求得AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，根据勾股定理求得ED，即可求得CD，然后证得△PDA∽△PCD，根据相似三角形的性质即可求得．

解答 （1）证明：连接AD，BD，
∵∠ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∴∠BAD=∠ABD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AB=$\sqrt{2}$AD；
（2）解：在Rt△ACB中，∵sin∠B=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
设AC=x，
∴AB=$\frac{5}{3}$x，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{5}{3}$x=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$x，
作AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{2}}{6}x）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴CD=CE+DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x=$\frac{7\sqrt{2}}{6}$x，
∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{6}x}{\frac{7\sqrt{2}}{6}x}$=$\frac{5}{7}$．

点评 此题考查了切线的性质和圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．