Question

11．如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为6．

Answer 1

分析 延长AD至A′，使AD=DA′，延长AB至E′，使BE=BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN=A′N，EM=E′M，四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A′B′+AE，根据两点之间线段最短，A′B′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：延长AD至A′，使AD=DA′，延长AB至E′，使BE=BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN=A′N，EM=E′M，四边形AEMN周长=AN+MN+ME+AE=A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD=2，AE=BE=1，
∴A′D=AD=2，BE=BE′=1，
∴AE′=3，AA′=4，
∴A′E′=$\sqrt{AE{′}^{2}+AA{′}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1=6．
故答案为6．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，同时也考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用等，作出M、N的点是解题的关键．