Question

2．如图，△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，D为BC的中点，当△DEF绕D旋转，使DE、DF分别交边AB、AC于M、N．
（1）求证：DM=DN；
（2）当BC=2$\sqrt{2}$时，求四边形AMDN的面积；
（3）若△ABC的面积为S，△MAN的面积有最大值还是有最小值？并求出这个最值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形性质得出AD=DC，AD⊥BC，∠C=∠MAD=45°，求出∠ADM=∠CDN，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四边形AMDN的面积等于三角形ADC的面积，即可求出答案；
（3）求出AM+AN=AC，根据面积求出AC长，根据三角形的面积得出二次函数解析式，求出最值即可．

解答 （1）证明：连接AD，
∵△BAC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，
∴AD=DC，AD⊥BC，∠C=∠MAD=45°，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADM=∠CDN=90°-∠ADF，
在△ADM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠C}\\{AD=DC}\\{∠ADM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN（ASA），
∴DM=DN；

（2）解：∵△BAC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AD⊥BC，AD=DB=BD=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∵△ADM≌△CDN，
∴S_△ADM=S_△CDN，
∴S_{四边形AMDN}=S_△ADM+S_△ADN
=S_△CDN+S_△ADN
=S_△ADC
=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×2
=1；

（3）解：设AC=AB=x，
∵△ABC的面积为S，
∴$\frac{1}{2}$x²=S，
∴x=$\sqrt{2S}$，
即AC=AB=$\sqrt{2S}$，
∵△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴AM+AN=AC=$\sqrt{2S}$，
S_△MAN=$\frac{1}{2}$AM×AN
=$\frac{1}{2}$AM（$\sqrt{2S}$-AM）
=-$\frac{1}{2}$AM²+$\frac{\sqrt{2S}}{2}$AM，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴开口向下，有最大值，
最大值为：$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×0-（\frac{\sqrt{2S}}{2}）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{S}{4}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最值的应用，能求出二次函数的解析式和求出△ADM≌△CDN是解此题的关键，难度偏大．