Question

3．如图所示．在?ABCD中分别以BC、AB为边画等边三角形BCF、ABE，连接DE、DF．求证：△DEF是等边三角形．

Answer 1

分析 等边三角形中，三条边相等，三个角都是60°，则由60°角及平行四边形对角相等的性质可得∠DAE=∠DCF，即△DAE≌△FCD，得出DF=DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论．

解答 证明：∵△ABE和△BCF都是等边三角形，
∴AE=AB=CD，CF=BC=AD，
∴∠BAE=∠BCF=60°，即∠DAE+∠BAD=∠DCF+∠BCD，
在平行四边形ABCD中，则∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠DCF，
在△DAE与△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠DAE=∠FCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△FCD（SAS），
∴DF=DE，∠EAD=∠DCF，
设∠ABC=β，则∠BAD=180°-β，
∴∠EBF=360°-2×60°-β=240°-β，∠EAD=60°+（180°-β）=240°-β，
∴∠EBF=∠EAD
∵EA=EB，AD=BC=BF，
在△BEF与△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠EAD=∠EBF}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴DE=EF，
∴DE=DF=EF，
即△DEF是等边三角形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够熟练掌握，并能够进行一些简单的证明、计算问题．