如图1.在△ABC中．∠C=90°.AC＞BC.正方形CDEF的顶点D在边AC上.点F在射线CB上设CD=x.正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S.S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤m.m＜x≤2.2＜x≤n时.函数的解析式不同)．(1)填空:m的值为$\frac{3}{2}$,(2)求S关于x的函数解析式.并写出x的取值范围,(3)S的值能� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．如图1，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的顶点D在边AC上，点F在射线CB上设CD=x，正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n时，函数的解析式不同）．
（1）填空：m的值为$\frac{3}{2}$；
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）S的值能否为$\frac{13}{2}$？若能，直接写出此时x的值；若不能，说明理由．

分析（1）当0＜x≤m时，结合图形可知S=x²，把点（m，$\frac{9}{4}$）代入可求得m的值；
（2）结合图形的变换可知当m＜x≤2时，点F运动到点B，可求得BC，当x=m时，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质可求得AC的长，当m＜x≤2，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，可用x分别表示出PE和QE，S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ，可得到S与x的关系式，当2＜x≤n时，设AB交DE于点H，可用x表示出AP和PH，则有S=S_△ABC-S_△APH，可得到S与x的关系式，从而可求得函数解析式；
（3）利用（2）中所求得关系式，分别令S=$\frac{13}{2}$，解相应的方程进行判断即可．

解答解：（1）当0＜x≤m时，如图1，

则可知点F从C点运动到点E运动到AB上，
∴S=x²，
∵点（m，$\frac{9}{4}$）在函数图象上，
∴m²=$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$（舍去），
故答案为：$\frac{3}{2}$；
（2）当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，可知点F从E点在AB上运动到B点，
∴BC=2，
在图1中，由EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，且CF=EF=$\frac{3}{2}$，BF=BC-CF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{AC}$，解得AC=6，
①当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，由（1）可知S=x²；
②当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，如图2，

当CD=CF=DE=EF=x时，BF=2-x，AD=6-x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{FQ}{AC}$，即$\frac{2-x}{2}$=$\frac{FQ}{6}$，
∴FQ=3（2-x），
∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，
同理可得$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{PD}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴PD=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴PE=DE-PD=x-$\frac{1}{3}$（6-x）=$\frac{1}{3}$（4x-6），
∴S_△PEQ=$\frac{1}{2}$PE•PQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（4x-6）•（4x-6）=$\frac{1}{6}$（4x-6）²，
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ=x²-$\frac{1}{6}$（4x-6）²=-$\frac{5}{3}$x²+8x-6；
③当2＜x≤6时，即点F从B点运动到使A、D重合，设AB交DE于点H，如图3，

当CD=x时，则AD=6-x，
同理可得$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DH}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DH=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$DH•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=$\frac{1}{6}$（6-x）²，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=6，
∴S=S_△ABC-S_△APH=6-$\frac{1}{6}$（6-x）²=-$\frac{1}{6}$x²+2x；
综上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x＜\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5}{3}{x}^{2}+8x-6（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{-\frac{1}{6}{x}^{2}+2x（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，且0＜x≤6；
（3）若S=$\frac{13}{2}$，则有三种情况，
①当x²=$\frac{13}{2}$时，则x=±$\frac{\sqrt{26}}{2}$，当x=-$\frac{\sqrt{26}}{2}$时显然不满足条件，当x=$\frac{\sqrt{26}}{2}$时，$\frac{\sqrt{26}}{2}$＞$\frac{3}{2}$，也不满足条件；
②当-$\frac{5}{3}$x²+8x-6=$\frac{13}{2}$时，整理可得10x²-48x+75=0，该方程判别式△=48²-4×10×75＜0，即该方程无实数解；
③当-$\frac{1}{6}$x²+2x=$\frac{13}{2}$时，整理可得x²-12x+39=0，该方程判别式△=12²-4×39＜0，即该方程无实数解；
综上可知S的值不能为$\frac{13}{2}$．