题目内容
11．如图1，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的顶点D在边AC上，点F在射线CB上设CD=x，正方形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n时，函数的解析式不同）．（1）填空：m的值为$\frac{3}{2}$；
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）S的值能否为$\frac{13}{2}$？若能，直接写出此时x的值；若不能，说明理由．
分析 （1）当0＜x≤m时，结合图形可知S=x2，把点（m，$\frac{9}{4}$）代入可求得m的值；
（2）结合图形的变换可知当m＜x≤2时，点F运动到点B，可求得BC，当x=m时，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性质可求得AC的长，当m＜x≤2，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，可用x分别表示出PE和QE，S=S正方形CDEF-S△PEQ，可得到S与x的关系式，当2＜x≤n时，设AB交DE于点H，可用x表示出AP和PH，则有S=S△ABC-S△APH，可得到S与x的关系式，从而可求得函数解析式；
（3）利用（2）中所求得关系式，分别令S=$\frac{13}{2}$，解相应的方程进行判断即可．
解答 解：（1）当0＜x≤m时，如图1，
则可知点F从C点运动到点E运动到AB上，
∴S=x2，
∵点（m，$\frac{9}{4}$）在函数图象上，
∴m2=$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$（舍去），
故答案为：$\frac{3}{2}$；
（2）当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，可知点F从E点在AB上运动到B点，
∴BC=2，
在图1中，由EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，且CF=EF=$\frac{3}{2}$，BF=BC-CF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{AC}$，解得AC=6，
①当0＜x≤$\frac{3}{2}$时，由（1）可知S=x2；
②当$\frac{3}{2}$＜x≤2时，设AB分别交DE、EF于点P、Q两点，如图2，
当CD=CF=DE=EF=x时，BF=2-x，AD=6-x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{FQ}{AC}$，即$\frac{2-x}{2}$=$\frac{FQ}{6}$，
∴FQ=3（2-x），
∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，
同理可得$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{PD}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴PD=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴PE=DE-PD=x-$\frac{1}{3}$（6-x）=$\frac{1}{3}$（4x-6），
∴S△PEQ=$\frac{1}{2}$PE•PQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（4x-6）•（4x-6）=$\frac{1}{6}$（4x-6）2，
∴S=S正方形CDEF-S△PEQ=x2-$\frac{1}{6}$（4x-6）2=-$\frac{5}{3}$x2+8x-6；
③当2＜x≤6时，即点F从B点运动到使A、D重合，设AB交DE于点H，如图3，
当CD=x时，则AD=6-x，
同理可得$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DH}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DH=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴S△ADH=$\frac{1}{2}$DH•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=$\frac{1}{6}$（6-x）2，且S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=6，
∴S=S△ABC-S△APH=6-$\frac{1}{6}$（6-x）2=-$\frac{1}{6}$x2+2x；
综上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x＜\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5}{3}{x}^{2}+8x-6（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{-\frac{1}{6}{x}^{2}+2x（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，且0＜x≤6；
（3）若S=$\frac{13}{2}$，则有三种情况，
①当x2=$\frac{13}{2}$时，则x=±$\frac{\sqrt{26}}{2}$，当x=-$\frac{\sqrt{26}}{2}$时显然不满足条件，当x=$\frac{\sqrt{26}}{2}$时，$\frac{\sqrt{26}}{2}$＞$\frac{3}{2}$，也不满足条件；
②当-$\frac{5}{3}$x2+8x-6=$\frac{13}{2}$时，整理可得10x2-48x+75=0，该方程判别式△=482-4×10×75＜0，即该方程无实数解；
③当-$\frac{1}{6}$x2+2x=$\frac{13}{2}$时，整理可得x2-12x+39=0，该方程判别式△=122-4×39＜0，即该方程无实数解；
综上可知S的值不能为$\frac{13}{2}$．
点评 本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程及分类讨论等．确定出正方形所运动到的位置与对应的函数图象中对应的点是解题的关键，在（2）、（3）中确定出AC和BC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问难度较大．
已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．
| A． | 点P：O-A-D-C，点Q：O-C-D-O | B． | 点P：O-A-D-O，点Q：O-C-B-O | ||
| C． | 点P：O-A-B-C，点Q：O-C-D-O | D． | 点P：O-A-D-O，点Q：O-C-D-O |
