Question

6．如图，已知l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l₁，l₂重合，AB=4$\sqrt{3}$cm，AD=4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l₁同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．
（1）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，则移动时间t=2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．
（2）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm）．当d＜2时，求t的取值范围2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）连接OO₁，并延长交l₂于点E，过点O₁作O₁F⊥l₁于点F，当点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上时，AA₁-A₁F=O₁E；
（2）当d=2时，⊙O与直线AC相切，且直线AC与⊙O相切有两种情况，①当直线AC在⊙O的左边时，AA₁+A₁F=O₁E；②当直线AC在⊙O的右边，AA₁-A₁F=O₁E．

解答 解：（1）连接OO₁，并延长交l₂于点E，如图1，
过点O1作O₁F⊥l₁于点F，
∴由题意知：OO₁=3t，AA₁=4t，
∵tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，
∴∠DAC=60°，
∴tan∠O₁A₁F=$\frac{{O}_{1}F}{{A}_{1}F}$，
∴A₁F=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∵AA₁-A₁F=O₁E，
∴4t-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；

（2）当d=2时，
此时⊙O与直线AC相切，
当直线AC在⊙O的左边，如图2，
由（1）可知，A₁F=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴AA₁+A₁F=O₁E，
∴4t+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
当直线AC在⊙O的右边，如图3，
此时，A₁F=2$\sqrt{3}$
∴AA₁-A₁F=O₁E，
∴4t-2$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2+2$\sqrt{3}$，
综上所述，当d＜2时，t的取值范围为：2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．
故答案为：（1）2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；（2）2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，锐角三角函数，解方程等知识，内容较为综合，考查学生灵活运用知识的能力．