Question

18．△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，作DE⊥AB，DF⊥AC，连结EF，求证：∠ABC=∠AFE．

Answer 1

分析 由垂线的定义得出∠ADB=90°，∠DEA=90°，由角的互余关系得出∠ABC=∠ADE，再证明A、E、D、F四点共圆，由圆周角定理得出∠AFE=∠ADE，即可得出∠ABC=∠AFE．

解答 证明：如图所示：
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB=90°，∠DEA=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠ABC=∠ADE，
∵DF⊥AC，
∴∠DFA=90°，
∴∠DEA+∠DFA=180°，
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠AFE=∠ADE，
∴∠ABC=∠AFE．

点评 本题是四点共圆题目，考查了四点共圆、圆周角定理、垂线的定义、角的互余关系等知识；本题综合性强，难度适中，证明四点共圆是解决问题的关键．