Question

3．如图，在同一平面内，圆O和直线AB相切，P是圆O上一个定点，初始位置圆O和AB相切于点A（此时点P与点A重合），从A处开始圆O在直线AB上以每3分钟1圈的速度匀速向右无滑动地滚动，1分钟到达点E（圆O与AB相切于点E），此时，tan∠PAE的值为$\frac{9}{4π-3\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 如图所示，过点P作PC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥PC，垂足为D．先求得∠POE=120°，从而可求得劣弧PE的弧长度即AE的长度，然后求得∠POD=30°，从而可求得PD和OD的长，然后证明四边形ODCE为矩形，接下来可求得AC和PC的长，从而可求得tan∠PAE的值．

解答 解：如图所示，过点P作PC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥PC，垂足为D．

根据题意可知∠POE=$\frac{1}{3}×360°$=120°，AE=劣弧PE的弧长．
∴AE=2πR×$\frac{1}{3}$=$\frac{2πR}{3}$．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OEC=90°．
∵PC⊥AB，OD⊥PC，
∴∠DCE=∠ODC=90°．
∴∠OEC=∠DCE=∠ODC=90°．
∴四边形ODCE为矩形．
∴DC=OE=R，OD=CE．
∵∠POD=30°，∠PDO=90°，
∴PD=$\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}R$，DO=$\frac{\sqrt{3}}{2}PO$=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$．
∴PC=PD+DC=$\frac{3}{2}R$，AC=AE-EC=$\frac{2πR}{3}$-$\frac{\sqrt{3}R}{2}$．
∴tan∠PAE=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\frac{3}{2}R}{\frac{2πR}{3}-\frac{\sqrt{3}R}{2}}$=$\frac{\frac{3}{2}R}{\frac{4πR-3\sqrt{3}R}{6}}$=$\frac{9}{4π-3\sqrt{3}}$．
故答案为：$\frac{9}{4π-3\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查扇形的弧长公式、含30度直角三角形的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义，明确AE等于劣弧PE的弧长是解题的关键．