Question

20．如图，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．

①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．（用α、β的代数式表示）
②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求得∠P=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．（用α、β的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠PBC+（180°-2∠DCP）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠P，从而得出结论；
（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠P，从而得出结论；

解答 解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCP）=180°-2（∠DCP-∠FBC）=180°-2∠P，
∴360°-（α+β）=180°-2∠P，
2∠P=α+β-180°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；

（2）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠P，
∴360°-（α+β）=180°+2∠P，
∴∠P=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
故答案为：90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．

点评 本题考查了多边形内角与外角和角平分线的定义，（1）中得出360°-（α+β）=180°-2∠P，（2）中得出360°-（α+β）=180°+2∠P是解题的关键．