Question

18．如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ的高度，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为31°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是68°，求信号塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

Answer 1

分析 延长PQ交直线AB于点E，连接AQ，设PM的长为x米，先由三角函数得出方程求出PM，再由三角函数求出QM，得出PQ的长度即可．

解答 解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA=90°，
设PM的长为x米，
在Rt△PAM中，∠PAM=45°，
∴AM=PM=x米，
∴BM=x-100（米），
在Rt△PBM中，∵tan∠PBM=$\frac{PM}{BM}$，
∴tan68°=$\frac{x}{x-100}$≈2.48，
解得：x≈167.57，
在Rt△QAM中，∵tan∠QAM=$\frac{QM}{AM}$，
∴QM=AM•tan∠QAM=167.57×tan31°≈167.57×0.60≈100.54（米），
∴PQ=PM-QM=167.57-100.54≈67.0（米）；
答：信号塔PQ的高度约为67.0米．

点评 本题考查解直角三角形的应用、三角函数；由三角函数得出方程是解决问题的关键，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．