Question

10．已知关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0（m为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，求（x₁-1）（x₂-1）的值．

Answer 1

分析 （1）将原方程变形为一般式，代入系数求出△=（m+1）²+24＞0，由此即可证出结论；
（2）由根与系数的关系得出“x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=m-4”，再将（x₁-1）（x₂-1）变形成含x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入数据即可得出结论．

解答 （1）证明：∵关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0，
∴此方程为x²-（m+3）x+m-4=0，
∴△=[-（m+3）]²-4（m-4）=m²+2m+25=（m+1）²+24，
∴△＞0，
∴关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$=m+3，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=m-4，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=（m-4）-（m+3）+1=-6．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出△=（m+1）²+24＞0；（2）结合根与系数的关系找出x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=m-4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式的符号来判断方程根的个数是关键．