Question

8．大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在一次函数关系如表：

销售价x（元/件）	…	110	115	120	125	130	…
销售量y（件）	…	50	45	40	35	30	…

若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（其中支出=商品成本+员工工资+应支付其它费用）：已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其它费用为200元（不包括集资款）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大：（毛利润═销售收入一商品成本一员工工资一应支付其他费用）
（3）在（2）的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天（取整数）才能还清集资款？

Answer 1

分析 （1）待定系数法即可求得y与x的函数关系式；
（2）根据收支平衡关系列方程求得商品的成本a，根据毛利润=（售价-成本）×销售量-员工工资-应支付其它费用列函数关系式，配方后根据二次函数性质可得最值情况；
（3）由（2）中的最大毛利润，设需t天能还清借款，根据t天的总利润≥t天的本息和，列不等式求解即可．

解答 解：（1）由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，
将x=110、y=50，x=115、y=45代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{110k+b=50}\\{115k+b=45}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=160}\end{array}\right.$，
∴y=-x+160；

（2）由已知可得：50×110=50a+3×100+200，
解得：a=100，
设每天的毛利润为W，
则W=（x-100）y-2×100-200
=（x-100）（-x+160）-2×100-200
=-x²+260x-16400
=-（x-130）²+500，
∴当x=130时，W取得最大值，最大值为500，
答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大利润为500元；

（3）设需t天能还清借款，
则500t≥50000+0.0002×50000t
解得：t≥102$\frac{2}{49}$，
∵t为整数，
∴t的最小值为103，
答：该店最少需要103天才能还清集资款．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用及一元一次不等式的应用，理解题意依据相等关系或不等关系列出方程、函数关系式及不等式是解题的关键．