Question

1．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，P是$\widehat{BC}$上一点，当PB=3PC时，则△ABC与四边形ABPC的面积比为（　　）

• A． $\frac{13}{16}$
• B． $\frac{10}{13}$
• C． $\frac{9}{11}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 设AB=AC=BC=1，PC=x，PB=3x，由余弦定理得得到x²=$\frac{1}{13}$，求得S_△BPC=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin120°=$\frac{1}{2}$•x•3x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²=$\frac{3\sqrt{3}}{52}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}×$1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，于是得到结论．

解答 解：设AB=AC=BC=1，PC=x，PB=3x，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPC=120°，
由余弦定理得，BC²=BC²+PC²-2PB•PC•cos120°，
即1²=x²+（3x）²-2•x•3x•（-$\frac{1}{2}$），
∴x²=$\frac{1}{13}$，
∴x²=$\frac{1}{13}$，
∵S_△BPC=$\frac{1}{2}$PB•PC•sin120°=$\frac{1}{2}$•x•3x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²=$\frac{3\sqrt{3}}{52}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×$1×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{四边形ABPC}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{52}}$=$\frac{13}{16}$，
故选A．

点评 本题考查了等边三角形的性质，余弦定理，三角形面积的计算公式，熟练掌握余弦定理是解题的关键．