如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上.同时.抛物线C2的顶点也在抛物线C1上.那么我们称抛物线C1与C2关联．(1)已知两条抛物线①:y=x2+2x-7.②:y=-x2+4x-3.判断这两条抛物线是否关联.并说明理由．(2)抛物线C1:y=$\frac{1}{6}$(x+1)2-2和一动点P(t.1).将抛物线C1绕点P(t.1)旋转180°得到抛物线C2.若抛物线C2与C1关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点也在抛物线C₁上，那么我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知两条抛物线①：y=x²+2x-7，②：y=-x²+4x-3，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=$\frac{1}{6}$（x+1）²-2和一动点P（t，1），将抛物线C₁绕点P（t，1）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₂与C₁关联，求抛物线C₂的解析式．
（3）善于思考的小颖同学提出一个猜想：“如果顶点不同的两条抛物线C₁与C₂关联，那么它们的解析式中的二次项系数一定是互为相反数，”你认为小颖同学的猜想正确吗？请说明理由．

分析（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上，即可求得答案；
（2）首先求得抛物线C₁的顶点坐标，则可得：点P在直线y=1上，则可作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=1的垂线，垂足为E，F，则可求得点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
（3）设两条抛物线C₁：y=a₁（x-m）²+n与C₂：y=a₂（x-p）²+q关联，则有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n①}\\{n={a}_{1}（m-p）^{2}+q②}\end{array}\right.$①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，即可求得a₁+a₂=0．

解答解：（1）∵①抛物线y=x²+2x-7=（x+1）²-8的顶点坐标为M（-1，-8），
∴②当x=-1时，y=-x²+4x-3=-1-4-3=-8，
∴点M在抛物线②上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，其顶点坐标为（2，1），
经验算：（2，1）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；

（2）抛物线C₁：y=$\frac{1}{6}$（x+1）²-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
∵动点P的坐标为（t，1），
∴点P在直线y=1上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=1的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=3，
∴点N的纵坐标为4，
当y=3时，$\frac{1}{6}$（x+1）²-2=4，
解得：x₁=5，x₂=-7，
①设抛物C₂的解析式为：y=a（x-5）²+4，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1-5）²+4，
∴a=-$\frac{1}{6}$．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{6}$（x-5）²+4；
②设抛物C₂的解析式为：y=a（x+7）²+4，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1+7）²+4，
∴a=-$\frac{1}{6}$．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-$\frac{1}{6}$（x+7）²+4；

（3）小颖同学的猜想正确，
理由：∵顶点不同的两条抛物线C₁：y=a₁（x-m）²+n与C₂：y=a₂（x-p）²+q关联，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{q={a}_{1}（p-m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（m-p）^{2}+q}\end{array}\right.$
①+②得（a₁+a₂）（m-p）²=0，
∴m≠p，
∴a₁+a₂=0，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．