Question

13．阅读材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点．如图1．|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a-b|．
请你仿照上例，回答下列问题：
①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是3；数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或-3；
③当-3＜x＜2时，|x+3|+|x+2|=1或2x+5；
④当代数式|x-2|+|x+1|取最小值时，相应的x的取值范围是-1≤x≤2；
⑤|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|最小值是1010025．

Answer 1

分析 ①根据（1）中的知识可以得到两点之间的距离就是较大的数与较小的数的差，据此即可求解；
②根据（1），即可直接写出结果；
③利用-3＜x＜-2时，当-2≤x＜2时，分别求出即可；
④代数式|x-1|+|x+2|表示数轴上一点到1、-2两点的距离的和，根据两点之间线段最短，进而得出答案；
⑤利用y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|是数轴上点x 与 1、2、3、…2010的距离和，进而得出当1005≤x≤1006 时，y最小求出即可．

解答 解：①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是-2-（-5）=3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1-（-3）=4；
故答案为：3；

②数轴上表示x和-1的两点之间的距离是|x+1|，
|AB|=2，则|x+1|=2，故x=1或-3； 
故答案为：|x+1|，1或-3；

③当-3＜x＜-2时，|x+3|+|x+2|=x+3-x-2=1，
当-2≤x＜2时，|x+3|+|x+2|=x+3+x+2=2x+5，
故答案为：1或2x+5；

④若|x+1|+|x-2|取最小值，那么表示x的点M在-1和2之间的线段上，
所以-1≤x≤2；
故答案为：-1≤x≤2；

⑤由题意可得：y=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|是数轴上点x 与 1、2、3、…2010的距离和． 
所以，当 1005≤x≤1006 时，
y最小=（2010-1）+（2009-2）+（2008-3）+…+（1006-1005）
=2009+2007+2005+…+3+1 
=1005² 
=1010025．
故答案为：1010025．

点评 此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．