Question

已知两弦AB和CD相交于圆内一点P，并且两弦的夹角被经过P点的直径平分．求证：AB=CD．

Answer 1

考点：垂径定理,角平分线的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：根据题意画出图形，过O分别做AB，CD的垂线，垂足为E，F，根据角平分线的性质得出OE=OF，由HL定理得出△BOE≌△COF，故可得出BE=CF，由垂径定理即可得出结论．

解答：证明：如图所示，过O分别做AB，CD的垂线，垂足为E，F，连接OC，OB，
∵OP为∠CPB的角平分线，
∴OE=OF．
在Rt△BOE与Rt△COF中，

OE=OF OB=OC

，
∴△BOE≌△COF（HL），
∴BE=CF．
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴CD=2CF，AB=2BE，
∴AB=CD．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．