Question

12．如图，已知△ABC中，AB=AC=BC=6，D为AC边上一点，点P为射线BC上一动点
（1）如图1，当P在线段BC上时，若△PBD为轴对称图形，CD=AD，请完成作图并求∠BPD的度数
（2）如图2，当P在线段BC的延长线上时，若CD=2AD，△PBD仍为轴对称图形，清完成作图并求线段BP的长度

Answer 1

分析 （1）分两种情形当PB=PD时，∠PBD=∠PDB=30°，推出∠BPD=120°．当BD=BP′时，∠BDP′=∠BP′D=75°；
（2）如图，过点D作DE∥BC交AB于E．则△ADE是等边三角形，由△BED≌△DCP，推出CP=DE=2可得BP=BC+CP=6+2=8．

解答 解：（1）当PB=PD时，∠PBD=∠PDB=30°，
∴∠BPD=120°
当BD=BP′时，∠BDP′=∠BP′D=75°．


（2）如图，过点D作DE∥BC交AB于E．

∴△ADE为等边三角形
∴∠BED=∠DCP=120°
若△PBD为轴对称图形时，则DB=DP
∴∠DBP=∠DPB
∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
可证：△BED≌△DCP（AAS）
∴CP=DE=2
∴BP=BC+CP=6+2=8．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．