题目内容
20．
反比例函数y1=$\frac{a}{x}$（a＞0，a为常数）和y2=$\frac{2}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点M在y2=$\frac{2}{x}$的图象上，MC⊥x轴于点C，交y1=$\frac{a}{x}$的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y1=$\frac{a}{x}$的图象于点B，当点M在y2=$\frac{2}{x}$的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；
②四边形OAMB的面积为2-a；
③当a=1时，点A是MC的中点；
④若S四边形OAMB=S△ODB+S△OCA，则四边形OCMD为正方形．
其中正确的是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）#G6．
分析 ①由反比例系数的几何意义可得答案；
②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积-（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；
③连接OM，根据已知条件得到y1=$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{x}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
④由①②知，2-a=a，解得：a=1，得到OC不一定等于OD，于是得到结论．
解答 解：①由于A、B在同一反比例函数y=$\frac{2}{x}$图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为$\frac{1}{2}$×2=1，正确；
②∵点M在y2=$\frac{2}{x}$的图象上，MC⊥x轴于点C，交y1=$\frac{a}{x}$的图象于点A，
∴四边形OAMB的面积=S矩形DMCO-S△BDO-S△AOC=2-$\frac{1}{2}$a-$\frac{1}{2}$a=2-a；正确；
③连接OM，
∵a=1，
∴y1=$\frac{a}{x}$=$\frac{1}{x}$，
∵A在函数y1=$\frac{a}{x}$的图象上，
∴S△AOC=$\frac{1}{2}$OC•AC=$\frac{1}{2}$，S△MOC=$\frac{1}{2}$OC•CM=1，
∴AC=$\frac{1}{OC}$，CM=$\frac{2}{OC}$，
∴AC=$\frac{1}{2}$CM，
∴点A是MC的中点；正确；
由①②知，2-a=a，解得：a=1，
∵点M在y2=$\frac{2}{x}$的图象上运动，
∴OC不一定等于OD，
∴四边形OCMD不一定为正方形，与a的取值无关，故④错误；
故答案为：①②③．
点评 本题考查了反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象都经过点A（2，-2）．
如图，在平面直角坐标xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每一个点的横，纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A′、B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，则点F的坐标为（1，4）．
如图：在?ABCD中，CA⊥BA，AB=3，AC=4，求?ABCD的周长及面积．