Question

12．在研究反比例函数y=$\frac{a}{x}（{a≠0}）$的图象时，我们发现有如下性质：
（1）图象是中心对称图形，对称中心是原点．
（2）图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x，y=-x．
（3）当a＞0时，分别在x＜0与x＞0两个范围内y随x的增大而减小；当a＜0时，分别在x＜0与x＞0两个范围内y随x的增大而增大．类似地我们研究形如：y=$\frac{a}{x-k}$+h（a≠0，k＞0，h＞0）的函数：
（1）函数y=$\frac{a}{x-k}$+h（a≠0，k＞0，h＞0）是由反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）向右平移k个单位，再向上平移h个单位得到的．
（2）图象是中心对称图形，对称中心是（k，h）．
（3）图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x+（h-k）和y=-x+（h+k）．
（4）对于函数y=$\frac{3x+6}{2x-4}$，x在哪些范围内，y随x的增大而减小？
答：x＜2或x＞2．

Answer 1

分析 （1）根据图象平移的法则即可解答；
（2）根据平移的方法，函数y=$\frac{a}{x}$的中心（0，0）平移后的点就是对称中心；
（3）图象平移后与原来的直线y=x和y=-x平行，并且经过对称中心，利用待定系数法即可求解；
（4）把已知的函数y=$\frac{3x+6}{2x-4}$变形成y=$\frac{a}{x-k}$+h（a≠0，k＞0，h＞0）的形式，类比反比例函数性质即可解答．

解答 解：（1）函数y=$\frac{a}{x-k}$+h（a≠0，k＞0，h＞0）是由反比例函数y=$\frac{a}{x}$（a≠0）向右平移k个单位，再向上平移h个单位得到的；
（2）图象是中心对称图形，对称中心是（k，h）；
（3）设对称轴是y=x+c，把（k，h）代入得h=k+c，
解得：c=h-k，
则对称轴是y=x+（h-k），
设对称轴是y=-x+d，代入（k，h）得h=-k+d，解得d=h+k．
则对称轴是y=-x+（h+k）．
故答案是：y=x+（h-k）和y=-x+（h+k）；
（4）y=$\frac{3x+6}{2x-4}$=$\frac{3（x-2）+12}{2（x-2）}$=$\frac{6}{x-2}$+$\frac{3}{2}$．
则对称中心是：（2，$\frac{3}{2}$）．
则当x＜2或x＞2时，y随x的增大而减小．
故答案是：x＜2或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数的图象与性质，以及待定系数法求函数的解析式，正确理解图象平移的方法是关键．