Question

12．如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD与AC交于点N，试猜想BD与CE有何关系？说明理由．

Answer 1

分析 结论：BD=CE且BD⊥CE．只要证明△BAD≌△CAE，再利用“8字型”证直角．

解答 解：结论：BD=CE且BD⊥CE．
理由：∵△ABC和△ADE是直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ANB+∠BAC=180°，
∠ACE+∠CNM+∠NMC=180°，
∠ANB=∠CNM，
∴∠NMC=∠BAC=90°，
∴BD⊥CE，
即BD=CE且BD⊥CE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．