Question

7．如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B=90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、D（3，0），点C坐标为（0，3）．点P从点E（-5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒．
（1）点B的坐标为（5，3）；
（2）当t=2，5，2+3$\sqrt{2}$时，△PCD为等腰三角形；
（3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P．
①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切；
②若⊙P与四边形ABCD的交点有两个，请直接写出运动时间t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据平行于坐标轴的交点，可得B点坐标；
（2）根据等腰三角形的定义，可得关于P点坐标；
（3）①根据切线的定义，分类讨论当PC⊥BC时，⊙P与BC相切；当PC⊥CD时，⊙P与CD相切；当PA⊥AD时，⊙P与AD相切；分别求出各种情况的t的值；
②圆的交线的定义，可得答案．

解答 解：（1）由BC∥AD，∠B=90°，得
AB∥OC，
由A（5，0），C坐标为（0，3），得
B点坐标为（5，3）．
（2）当PC=CD时，OD=OP=3，EP=5-3=2，即t=2，
当PC=CB时，设P点坐标为（x，0），x²+3²=（3-x）²，
解得x=0，即P（0，0）EP=5，即t=5；
当BC=PB时，设P点坐标为（x，0），（3-x）²=（$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$）²，
解得x=3-3$\sqrt{2}$，x=3+3$\sqrt{2}$＞5（不符合题意，舍），EP=5-（3-3$\sqrt{2}$）=2+3$\sqrt{2}$，即t=2+3$\sqrt{2}$，
故答案为：2，5，2+3$\sqrt{2}$；
（3）①如图1，当PC⊥DC时，⊙P与DC相切，

∵∠CDO=45°，
∴∠CPD=45°，CP=CD，
∵CO=3，
∴PO=3，
∴EP=EO-PO=5-3=2，
∵点P从点E（-5，0）出发，沿x轴向右以每秒2个单位的速度运动，
∴t=2（秒），
如图2，当PC⊥CD时，⊙P与CD相切，

∵EP=5，点P从点E（-5，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=5÷1=5（秒）
如图3，
当PA⊥AB时，⊙P与AB相切，设PA=r
∵OA=5，OC=3，
∴OP²+OC²=PC²，即（5-r）²+3²=r²，解得：r=$\frac{17}{5}$，
∴EP=5+5-$\frac{17}{5}$=$\frac{33}{5}$，
∵点P从点E（-5，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=$\frac{33}{5}$，
综上所述t₁=2秒，t₂=5秒，t₃=$\frac{33}{5}$秒．
②由图1，图2，得
2＜t＜5时，⊙P与与CD有两个交点，
当P位于BC的垂直平分线上时，⊙P与过B、C点，即P（$\frac{5}{2}$，0），
EP=5+$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{2}$，
t=$\frac{15}{2}$，
综上所述：t=$\frac{15}{2}$或2＜t＜5时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个．

点评 本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是分类讨论当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切的三种情况．