Question

4．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC．
（1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．

解答 解：（1）BC与⊙O相切，
理由：连接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
             
（2）连接OE，ED，

∵∠BAC=60°，OE=OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠ADE=30°，
又∵∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ADE=∠OAD，
∴ED∥AO，
∴S_△AED=S_△AOD，
∴阴影部分的面积=S_扇形ODE=$\frac{60×π×4}{360}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．