Question

17．如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AC=12，BC=5，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）作∠BAC的平分线交BC于点P即可；
（2）根据角平分线的性质得出PD=PC，再由HL定理得出AD=AC，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB的长，设PC=x，则PD=x，BP=5-x，在Rt△BDP中利用勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）如图，点P即为所求；
             
（2）∵AP平分∠CAB，作PD⊥AB于D，∠C=90°，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PD=PC\end{array}$，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴AD=AC=12．          
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=13．
∴BD=13-12=1．
设PC=x，则PD=x，BP=5-x，
在Rt△BDP中，由勾股定理，得PD²+BD²=PB²，
即（5-x）²=x²+1²，
解得：x=$\frac{12}{5}$，即CP的长为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．