Question

11．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（-4，-2），C为双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为（　　）

• A． （2，4）
• B． （1，8）
• C． （2，4）或（1，8）
• D． （2，4）或（8，1）

Answer 1

分析 首先利用待定系数法即可解决．过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，根据S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE=6，列出方程即可解决．

解答 解：∵点B（-4，-2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{-4}$=-2，
∴k=8，
∴双曲线的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$．
过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵正比例函数与反比例函数的交点A、B关于原点对称，
∴A（4，2），
∴OE=4，AE=2，
设点C的坐标为（a，$\frac{8}{a}$），则OF=a，CF=$\frac{8}{a}$，
当a＜4时，则S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{16-{a}^{2}}{a}$，
∵△AOC的面积为6，
∴$\frac{16-{a}^{2}}{a}$=6，
整理得a²+6a-16=0，
解得a=2或-8（舍弃），
∴点C的坐标为（2，4）．
当a＞4时，则S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（a-4）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{{a}^{2}-16}{a}$，
∵△AOC的面积为6，
∴$\frac{{a}^{2}-16}{a}$=6，
整理得a²-6a-16=0，
解得a=-2（舍去）或8，
∴点C的坐标为（8，1）．
故选D．

点评 本题考查反比例函数与一次函数交点、解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求四边形面积，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．