Question

18．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，现有∠BFE=30°的三角板△BEF，将△BEF绕B旋转得△BE′F′，BE′，BF′所在直线分别交线段AC于点M，N，若点C关于直线BE′的对称点为C′，当C′N⊥AC时，AN的长为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，证明△ABN≌△C′BN（SAS），可知∠ANB=∠C′NB，根据C′N⊥AC证得∠ANF′=∠C′NF′=90°×$\frac{1}{2}$=45°，所以△OBN是等腰直角三角形，利用直角三角形30°角的性质求OB、ON、OA的长，从而得出AN的长．

解答 解：连接BC′、BD，设AC与BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=2，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD=60°，
∴∠ABC=120°，
在Rt△BE′F′中，∵∠BF′E′=30°，
∴∠F′BE′=60°，
∴∠ABF′+∠CBE′=120°-60°=60°，
又C与C′关于BE′对称，
∴∠C′BE′=∠CBE′，BC=BC′=2，
∴∠ABF′=∠C′BF′，AB=BC′，
在△ABN和△C′BN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC′}\\{∠ABN=∠C′BN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△C′BN（SAS），
∴∠ANB=∠C′NB，
∴∠ANF′=∠C′NF′=90°×$\frac{1}{2}$=45°，
∵∠BAN=30°，
∴∠ABF′=45°-30°=15°，
∴∠DBF′=60°-15°=45°，
∵AC⊥BD，
∴△OBN是等腰直角三角形，
∴OB=ON，
在Rt△AOB中，∵∠BAO=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴ON=OB=1，
OA=$\sqrt{3}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AN=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质和判定、30°的直角三角形的性质、旋转和对称的性质，连接C′B证明三角形全等是突破口，进而求出各角的度数，得到等腰直角三角形，从而使问题得以解决．