Question

10．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过点A（5，$\frac{2}{3}$）、点B（9，-10），与y轴交于点C．

（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当∠PCB=90°时，作∠PCB的角平分线，交抛物线于点F．
①求点P和点F的坐标；
②在直线CF上是否存在点Q，使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过点A（5，$\frac{2}{3}$）、点B（9，-10），运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；
（2）根据直线BC为：y=-x-1，可设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），则E（m，-m-1），进而得到PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，最后根据四边形AECP的面积=△APE面积+△CPE面积，求得点P坐标为$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；
（3）①根据∠PCB=90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF=45°，进而得出CF∥x轴，则当y=-1时，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，解得F（6，-1），再根据直线CP为：y=x-1，可得当x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1时，可得P（3，2）；
②根据直线CB：y=-x-1，直线PF：-x+5，可得CB∥PF，即可得到∠BCF=∠PFC=45°，故在直线CF上存在满足条件的点Q，再设Q（t，-1），由题可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，最后分两种情况进行讨论：当△PFQ₁∽△BCF时，当△PFQ∽△FCB时，分别求得t的值，即可得出点Q的坐标为（4，-1）或（-3，-1）．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过点A（5，$\frac{2}{3}$）、点B（9，-10），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}×25+5b+c}\\{-10=-\frac{1}{3}×81+9b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线对应的函数表达式为y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1；

（2）由抛物线可得，C（0，-1），B（9，-10），
∴直线BC为：y=-x-1，
设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），则E（m，-m-1），
∴PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，
∴四边形AECP的面积=△APE面积+△CPE面积
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×m+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×（5-m）
=$\frac{5}{2}$（-$\frac{1}{3}$m²+3m）
=-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{15}{2}$m，
=-$\frac{5}{6}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{135}{8}$，
∴当m=$\frac{9}{2}$时，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1=$\frac{5}{4}$，
∴点P坐标为$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；

（3）①过点B作BH⊥y轴于H，
∵C（0，-1），B（9，-10），
∴CH=BH=9，
∴∠BCH=45°，
∵∠PCB=90°，CF平分∠PCB，
∴∠BCF=45°，
∴∠FCH=90°，即CF∥x轴，
当y=-1时，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，
解得x₁=0，x₂=6，
∴F（6，-1），
∵CP⊥CB，C（0，-1），
∴直线CP为：y=x-1，
当x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1时，解得x₁=0，x₂=3，
当x=3时，y=2，
∴P（3，2）；

②∵直线CB：y=-x-1，直线PF：y=-x+5，
∴CB∥PF，
∴∠BCF=∠PFC=45°，
∴在直线CF上存在满足条件的点Q，
设Q（t，-1），
由题可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，
（ⅰ）如图所示，当△PFQ₁∽△BCF时，
$\frac{CF}{F{Q}_{1}}$=$\frac{BC}{PF}$，即$\frac{6}{6-t}$=$\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得t=4，
∴Q₁（4，-1）；
（ⅱ）如图所示，当△PFQ∽△FCB时，
$\frac{CF}{FP}$=$\frac{BC}{{Q}_{2}F}$，即$\frac{6}{3\sqrt{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{6-t}$，
解得t=-3，
∴Q₂（-3，-1）．
综上所述，点Q的坐标为（4，-1）或（-3，-1）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想．