Question

3．如图，已知∠MON=30°，AB⊥ON，垂足为点A，点B在射线OM上，AB=1cm，在射线ON上截取OA₁=OB，过A₁作A₁B₁∥AB，A₁B₁交射线OM于点B₁，再在射线ON上截取OA₂=OB₁，过点A₂作A₂B₂∥AB，A₂B₂交射线OM于点B₂；…依次进行下去，则A₁B₁线段的长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，A₆B₆线段的长度为${2}^{6}（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{6}$．

Answer 1

分析 先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出OB=2AB=2=OA₁，再解直角三角形OA₁B₁，求出A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，同理，得出OB₁=2A₁B₁=OA₂，再解直角三角形OA₂B₂，求出A₂B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA₂=$\frac{{2}^{2}\sqrt{3}}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此得出A₆B₆线段的长度．

解答 解：在直角△OAB中，∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴OB=2AB=2，
∴OA₁=OB=2，
在直角三角形OA₁B₁中，∵∠OA₁B₁=90°，∠A₁OB₁=30°，
∴A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OB₁=2A₁B₁=OA₂，
同理，在直角三角形OA₂B₂中，∵∠OA₂B₂=90°，∠A₂OB₂=30°，
∴A₂B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA₂=$\frac{{2}^{2}\sqrt{3}}{3}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
…
∴A₆B₆=${2}^{6}（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{6}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；${2}^{6}（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{6}$

点评 本题考查了直角三角形的知识及解直角三角形，难度中等，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．