Question

15．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC=6，BC=8，则⊙O的半径为$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R，先证明DE⊥AC，DE=$\frac{1}{2}$CB，在RT△OCE中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R．
在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=8，AC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵BD=AD=5，
∴CD=AD=5，
∵DC=DA，
$\widehat{CD}$=$\widehat{AD}$，
∴DO⊥AC，EC=AE=3，
∴ED∥BC，∵BD=AD，
∴EC=EA，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=4，
在RT△COE中，∵∠OEC=90°，
∴CO²=OE²+CE²，
∴R²=（4-R）²+3²，
∴R=$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．