Question

10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，点D为弧AB的中点，AC=4$\sqrt{3}$．求CD的长．

Answer 1

分析 作AE⊥CD于E，连接BD，根据圆周角定理得到∠ACD=45°，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，根据正弦和正切的定义计算即可．

解答 解：作AE⊥CD于E，连接BD，
∵点D为弧AB的中点，
∴∠ACD=45°，
∴AE=CE=AC×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{6}$，
由圆周角定理得，∠ADB=90°，∠CDB=∠CAB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴DE=$\frac{AE}{tan∠ADC}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=DE+CE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理的应用和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．