Question

3．在矩形ABCD上有一个动点P，点P沿AD-DC-CA运动，并且不与点A重合，连接BP，以BP为直角边作等腰直角三角形BPQ，AB=6，AD=4．

（1）当点P沿AD-DC-CA运动时，求出等腰直角三角形BPQ面积的最大值；
（2）当点P在AD上运动时，△BPQ的边PQ与DC交于点E，如图1所示，若AP：AD=1：2时，AB：PD的值为3；若AP：AD=1：n时，AB：PD的值为$\frac{3n}{2（n-1）}$；
（3）如图2所示，当点P（不与点D、C重合）在DC上运动时，请你判断梯形ABPD的面积是否可为△BPQ面积的4倍？若可以，请求出PC的长度；若不可以，请说明理由；
（4）如图3所示，当点P运动到CA的延长线上时，请你直接写出BP：PF的值．

Answer 1

分析 （1）根据当点P移动到点D处时，△BPQ的面积最大进行计算求解；
（2）根据AP：AD的比值，求得AP的长，再根据PD和AB的长求得AB：PD的值即可；
（3）先设PC=y，并将梯形与△BPQ的面积表达出来，再根据梯形ABPD的面积=4×△BPQ的面积，列出关于y的方程，最后判断方程是否有解即可；
（4）先过P作PG⊥CB于G，作PH⊥CD于H，并判定△GPB∽△HPF，再根据相似三角形的对应边成比例以及平行线分线段成比例定理进行推导计算，求得BP：PF的值．

解答 解（1）∵当点P移动到点D处时，BP＞BA＞BC，此时BP=BD=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{52}$（最大）
∵△BPQ是等腰直角三角形
∴△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$BP²=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{52}$）2=26
即P点运动到D点的时，△BPQ有面积的最大值26
 
（2）如图1，当AP：AD=1：2时，AP=PD=$\frac{1}{2}$AD=2
此时，AB：PD=6：2═3
 当AP：AD=1：n时，AP=AD×$\frac{1}{n}$=$\frac{4}{n}$
∴PD=AD-AP=4-$\frac{4}{n}$=$\frac{4（n-1）}{n}$        
∴AB：PD=6：$\frac{4（n-1）}{n}$=$\frac{3n}{2（n-1）}$
故答案为：3，$\frac{3n}{2（n-1）}$

（3）如图2，设PC=y，则DP=6-y，BP²=4²+y²
若梯形ABPD的面积=4×△BPQ的面积，则$\frac{1}{2}$[（6-y）+6]×4=4×$\frac{1}{2}$（4²+y²）
即y²+y+4=0，其中△=-15＜0
∴该方程无解
∴当P点在DC上运动时，梯形ABPD的面积不可能是等腰直角三角形BPQ的面积的4倍

（4）如图3，当点P运动到CA的延长线上时，过P作PG⊥CB于G，作PH⊥CD于H，则∠PGB=∠PHF=90°，∠HPG=90°
∵等腰直角三角形BPQ中，∠FPB=90°
∴∠GPB=∠HPF
∴△GPB∽△HPF
∴$\frac{PB}{PF}$=$\frac{PG}{PH}$①
∵PG∥AB，PH∥AD
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PH}{AD}$，即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{2}$②
由①②可得，$\frac{PB}{PF}$=$\frac{3}{2}$
即BP：PF的值为1.5

点评 本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强．解决问题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系以及平行线分线段成比例定理．解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．