Question

5．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4$\sqrt{3}$=7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2$\sqrt{6}$=5）

Answer 1

分析 （1）依题意设抛物线顶点式，将点A坐标代入可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，依题意可知CD=EF，从而得方程-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4=2解得x的值即可知道CD、BD．

解答 解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）²+4，
将点A（0，1）代入，得：36a+4=1，
解得：a=-$\frac{1}{12}$，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4；

（2）令y=0，得：-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4=0，
解得：x₁=4$\sqrt{3}$+6≈13，x₂=-4$\sqrt{3}$+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地点C距守门员13米；

（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，

根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴-$\frac{1}{12}$（x-6）²+4=2，
解得：x₁=6-2$\sqrt{6}$，x₂=6+2$\sqrt{6}$，
∴CD=x₂-x₁=4$\sqrt{6}$≈10，
∴BD=13-6+10=17米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．

点评 本题主要考查二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．