Question

如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，F为DC上一点，且CE=CF，连接BF并延长与DE交于点G．

（1）如图①，求证：BG⊥DE；
（2）如图②，当点F为边CD的中点时，连接EF并延长交AD于点H，连接BH，求证：四边形BEDH是等腰梯形；
（3）如图③，点G是DE的中点时，连接BD、AG交于点M，求证：DE=

2

AM．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）由正方形的性质就可以得出△BCF≌△DCE，就可以得出∠CBF=∠CDE，就可以得出∠BGE=90°而得出结论；
（2）通过证明△HDF≌△ECF就可以得出HD=CE=CF，由CF=

1

2

DC，就可以得出得出AH=DH=CE就可以得出△DCE≌△BAH就可以得出DE=BH，就可以得出结论；
（3）连结CG，由直角三角形的性质就可以得出△ADG≌△BCG，得出AG=BG就可以得出∠GAB=∠GBA，由BD=BE，BG⊥DE就可以得出∠DBG=∠EBG=∠CDE，就可以得出∠BDE=∠ABG=∠BAG，由△ABM∽△DBE就可以得出结论．

解答：（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCE=∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BCD=∠DCE．
在△BCF和△DCE中

BC=DC ∠BCD=∠DCE CF=CE

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠BFC=∠E，∠CBF=∠CDE．
∵∠E+∠CDE=90°，
∴∠E+∠CBF=90°，
∴∠BGE=90°，
∴BG⊥DE；
（2）证明：如图②∵F为边CD的中点，
∴DF=CF=

1

2

CD．
∵AD∥BC，
∴∠DHF=∠CEF．
在△HDF和△ECF中

∠DHF=∠CEF ∠HDF=∠ECF DF=CF

，
∴△HDF≌△ECF（AAS），
∴HD=CE，
∴HD=CF=

1

2

CD，
∴HD=

1

2

AD，
∴AH=HD，
∴AH=CE．
在△DCE和△BAH中

CE=AH ∠DCE=∠A CD=AB

，
∴△DCE≌△BAH（SAS），
∴DE=BH．
∵AD∥BE，
∴四边形BEDH是等腰梯形；
（3）解：如图③，连结CG，
∵G是DE的中点，
∴CG=DG，
∴∠DCG=∠GDC，
∴∠ADG=∠BCG．
在△ADG和△BCG中

AD=BC ∠ADG=∠BCG DG=CG

，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴AG=BG，
∴∠GAB=∠GBA．
∵BG是△DBE的中线，BG⊥DE，
∴BD=BE，
∴∠DBG=∠EBG，
∴∠DBG=∠EBG=∠EDC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°．
∴∠ABD+∠DBG=∠BDC+∠CDE，
∴∠ABG=∠BDE，
∴∠GAB=∠BDE．
∵∠ABD=∠DBC，
∴△ABM∽△DBE，
∴

AB

BD

=

AM

DE

．
∵四边形ABCD是正方形，
∴

BD

AB

=

2

，
∴

DE

AM

=

2

，
∴DE=

2

AM．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形相似是难点．