Question

某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面图如图所示），其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800m²．
（1）设矩形的边长AB=x（m），AM=y（m），用含x的代数式来表示y；
（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S（元），求S关于x的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）根据四个矩形都相同，因此四个直角三角形的直角边都相等，那么可根据4个矩形的面积+中间的正方形的面积=800来列出关于x、y的函数关系式；
（2）①（1）中已得出了矩形的长，那么根据总造价S=4个矩形区域的造价+正方形区域的造价+4个直角三角形区域的造价，来列出关于S、x的函数关系式；
②可将①得出的二次函数式转换成顶点式的表达式，然后看看二次函数的最小值是否超过235000即可．

解答：解：（1）y=

800-x2

4x

（0＜x＜20

2

）．

（2）①s=2100x²+105×4xy+40×4×

1

2

y²
=2100x²+420x×

800-x2

4x

+80（

200

x

-

x

4

）²
=2000x²+

3 200 000

x2

+76000（0＜x＜20

2

）．
②S=2000（x²+

1600

x2

-80）+76000+2000×80=2000×（x-

40

x

）²+236000＞235000．
所以，光靠银行贷款不能完成该工程的建设任务．

点评：本题结合实际问题考查了二次函数以及一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键．