Question

如图1，菱形ABCD中，∠A=30°，边长AB=10cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿2方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连接，设t秒后橡皮筋扫过的面积为ycm²．
（1）当t=3时，求橡皮筋扫过的面积；
（2）如图2，当橡皮筋刚好触及钉子时，求t值；
（3）求y与t之间的函数关系式．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过P作PM⊥AD，当t=3时，AP=6，AQ=3，由直角三角形的性质求出PM的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．
（2）连结BD，由菱形的性质可以得出△BOP≌△DOQ就可以得出S_{四边形ABPQ}=S_△ABD，根据面积相等建立方程求出其解即可；
（3）如图1，当0≤t≤5时，作PM⊥AD于M，AP=2t，AQ=t，PM=t，由三角形的面积公式表示出y与t之间的关系式；如图2，当5＜t≤10时，作PM⊥AD于M，AP=2t-10，PM=5，由梯形的面积公式就可以表示出由y与t的关系式；如图3，当

20

3

＜t≤10时，作OE∥AD，BP=2t-10，AQ=t，OE=5，y=S_{四边形BEOP}+S_{四边形AQOE}就可以求出结论．

解答：解：（1）当t=3时，AP=6，AQ=3，过P作PM⊥AD，
∴∠AMP=90°．
∵∠A=30°，
∴PM=

1

2

AP=3，
∴S_△APQ=

1

2

×3×3=

9

2

．
答：当t=3时，求橡皮筋扫过的面积为

9

2

；

（2）连结BD，
∵四边形ABCD是菱形，点O是对称中心，
∴BO=DO，BC∥AD，
∴∠BPO=∠DQO，∠PBO=∠QDO．
在△BOP和△DOQ中，

∠BPO=∠DQO ∠PBO=∠QDO BO=DO

，
∴△BOP≌△DOQ（ASA）
∴BP=DQ，S_△BOP=S_△DOQ，
∴S_{四边形ABPQ}=S_△ABD．
作BM⊥AD于M，
∴∠AMB=90°．
∵∠A=30°，
∴BM=

1

2

AB．
∵AB=10cm，
∴BM=5cm，
∴

5(2t-10+t)

2

=

1

2

×10×5，
解得：t=

20

3

（3）如图1，当0≤t≤5时，作PM⊥AD于M，AP=2t，AQ=t，PM=t，
y=

1

2

AP．PM=

1

2

t²                              
如图2，当5＜t≤

20

3

时，作PM⊥AD于M，AP=2t-10，AQ=t，PM=5，
y=

(2t-10+t)×5

2

=

15

2

t-25，
如图3，当

20

3

＜t≤10时，作OE∥AD．BP=2t-10，AQ=t，OE=5，
y=S_{四边形BEOP}+S_{四边形AQOE}=

5+2t-10

2

×

5

2

+

5+t

2

×

5

2

=

15

4

t．
∴y=

1 2 t2(0≤t≤5) 15 2 t-25(5＜t≤ 20 3 ) 15 4 t( 20 3 ＜t≤10)

．

点评：本题考查了菱形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，函数的解析式的运用，解答时运用四边形的面积公式求解是关键．