Question

如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．
（1）若BD=BF，求BE的长；
（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：HF=HE+HD．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由四边形ABCD正方形，BF=BD=6

2

，由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；
（2）首先在FE上截取一段FI，使得FI=EH，由△ADE≌△CDF，易证得△DEH≌△DFI，即可得DH=DI，又由∠ADE=2∠BFE，易证得△DHI为等边三角形，即可得DH=HI，继而可得FH=HE+HD．

解答：（1）解：如图，∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴BD=6

2

．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=DC ∠A=∠DCF=90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=6

2

，
∴AE=CF=BF-BC=6

2

-6，
∴BE=AB-AE=6-（6

2

-6）=12-6

2

，即BE的长为12-6

2

；

（2）证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由（1）知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH（三角形的内角和定理），
在△DEH和△DFI中，

DE=DF ∠DEH=∠DFI EH=FI

，
∴△DEH≌△DFI（SAS），
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=

1

2

∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．

点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．