Question

19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，E为BC的延长线上一点，连接AE，若线段AE的中垂线交∠ABC的平分线于点P，交AC于点F．
（1）求证：PB=PE；
（2）试判断线段BC、CE、CP三者之间的数量关系；
（3）若BC=7，当CE=$\sqrt{7}$时，AF=2EF（直接写出结论）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AP，只要证明△ACP≌△BCP即可．
（2）如图1中，作PD⊥PC交AC于D，则CD=$\sqrt{2}$CP，PD=PC，∠APD=∠EPC，由（1）可知∠CEP=∠CBP=∠CAP，得A、E、C、P四点共圆，再证明△ADP≌△ECP即可解决问题．
（3）如图2中，连接PA，作PH⊥BC于H．设EF=a，PF=b则PA=PE=a+b，AF=2a，先在在RTAPF中利用勾股定理求出a、b的关系，再根据AC=BC=7，列出方程求出a，最后在RT△EFC中利用勾股定理即可解决．

解答 （1）证明：如图1中，连接AP，
∵点P在AE的垂直平分线上，
∴PA=PE，
在△ACP和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCP}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCP，
∴AP=PB=PE．
（2）结论：BC=CE+$\sqrt{2}$CP．
证明：如图1中，由（1）可知∠CEP=∠CBP=∠CAP，
∴A、E、C、P四点共圆，
∴∠APE=∠ACE=90°，作PD⊥PC交AC于D，则CD=$\sqrt{2}$CP，PD=PC，∠APD=∠EPC，
在△ADP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠PEC}\\{PA=PE}\\{∠APD=∠CPE}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴BC=AC=AD+CD=CE+$\sqrt{2}$CP．
（3）如图2中，连接PA，作PH⊥BC于H．设EF=a，PF=b则PA=PE=a+b，AF=2a，
在RT△PAF中，∵AF²=PA²+PF²，
∴（2a）²=（a+b）²+b²，
∴b=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{7}-1}{2}$a（舍弃），
∴PE=$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$a=PB   ①
∵A、E、C、P四点共圆，
∴AF•CF=EF•PF（相交弦定理），
∴CF=$\frac{EF•PF}{AF}$=$\frac{1}{2}$PF=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$a，
∴CF+AF=7，
$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$a+2a=7，
∴a=$\frac{2\sqrt{7}（\sqrt{7}-1）}{3}$，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{7}-1}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}+1}{4}$a=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，学会设未知数，用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．