Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为BC、CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，则AB的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证得△ABM≌△ECM，即可得AB=$\frac{2}{3}$NE，然后由AM=1，AN=2，且∠MAN=60°，求得AH，NH与EH的长，继而求得EN的长，则可求得答案．

解答 解：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
在△ABM和△ECM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CEN}&{\;}\\{∠B=∠ECM}&{\;}\\{BM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N为边DC的中点，
∴NE=3NC=$\frac{3}{2}$AB，即AB=$\frac{2}{3}$NE，
∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EH=$\sqrt{A{E}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴NH=AN-AH=2-1=1，
∴EN=$\sqrt{N{H}^{2}+E{H}^{2}}$=2，
∴AB=$\frac{2}{3}$×2=$\frac{4}{3}$；
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．